Un Modelo Matemático para Encuestas Presidenciales (Rogelio Fernandez-Alonso)

¿Qué es un modelo matemático? Digamos que es una maqueta de una situación real que se construye con conceptos y lenguaje matemático para plantear y resolver un problema

¿Qué es un modelo matemático? Digamos que es una maqueta de una situación real que se construye con conceptos y lenguaje matemático para plantear y resolver un problema. Una maqueta necesariamente simplifica o reduce la realidad, tratando de mantener la esencia de lo que queremos plantear y resolver. Ya que en este año de elección presidencial en México llueven encuestas por doquier, hablemos del modelo matemático que justifica, bajo ciertas condiciones, la efectividad de una encuesta. ¿Y qué es una encuesta? En principio es un instrumento para sondear la realidad en un momento determinado.

En este caso quisiéramos conocer la intención de voto de los mexicanos con posibilidad de votar el próximo 1° de julio. Pensemos pues en un conjunto de 90 millones de puntos encerrados en una región, digamos un cuadrado. Cada punto está pintado de un color, que puede ser azul, rojo, amarillo o blanco. En esta maqueta, el cuadrado representa el territorio nacional, los puntos representan a los mexicanos en la lista nominal del IFE (para simplificar estamos excluyendo los mexicanos votantes en el extranjero), y los colores representan la intención de votar, respectivamente, por los candidatos presidenciales, JVM, EPN, AMLO, o dejar en blanco su voto. También para simplificar, supongamos que los puntos del cuadrado están distribuidos uniformemente, es decir que en cualquier parte del cuadrado hay la misma densidad de población. En nuestro modelo matemático, una encuesta consiste en considerar un subconjunto de puntos, de mucho menor tamaño, digamos 900 puntos (es decir, una cienmilésima parte del conjunto original). Este subconjunto representa lo que los encuestadores llaman muestra. Para que esta muestra seaideal, la proporción numérica de los colores debe ser igual (o acercarse lo más posible) a la proporción de colores en el conjunto original. El problema matemático consiste en encontrar dicha muestra ideal.

La respuesta es que para reflejar la realidad de manera precisa, la encuesta deben aplicarse al azar, es decir, la muestra debe ser aleatoria. Esto se traduce en que los 900 puntos elegidos aparezcan distribuidos uniformemente dentro del cuadrado original. Para garantizar esta repartición uniforme de la muestra, podemos pensar en cuadricular la región, digamos que formando 900 cuadritos (subdividiendo el lado del cuadrado original en 30 segmentos), lo cual significa que cada cuadrito tiene el mismo número de puntos (en este caso 100 000), y luego elegir un punto de cada cuadrito. Bajo estas condiciones, en efecto la proporción de los colores de la muestra es cercana a la proporción de estos en el cuadrado original. ¿Cómo se tiene la certeza de esto? Con el concepto matemático de probabilidad. La probabilidad de que al elegir al azar un punto de la muestra sea, digamos, amarillo, se acerca al porcentaje de puntos amarillos de la muestra. Este acercamiento es mayor mientras más puntos tiene la muestra, pero 900 puntos son suficientes para un buen acercamiento. Dicha probabilidad se puede calcular de manera precisa, y resulta que bajo las condiciones descritas coincide con el porcentaje real de puntos amarillos en el conjunto original. En conclusión, si la muestra se conforma de esa manera, subdividiendo el conjunto original en pedazos con el mismo número de puntos, y eligiendo al azar un punto en cada uno de esos pedazos, los porcentajes de colores en la muestra serán muy cercanos a los porcentajes reales. Si la muestra no se construye así, no hay garantía de que se dé este acercamiento.

Regresemos a la compleja realidad. Según nuestro modelo matemático, para garantizar que la muestra sea aleatoria, y por tanto que la encuesta sea efectiva, hay que subdividir la población de votantes en pedazos con el mismo número de votantes y luego elegir al azar una persona de cada pedazo para aplicarle la encuesta. En la medida en que estas dos condiciones se cumplan, la encuesta será efectiva. Por supuesto hay dificultades reales para llevar a cabo esto. O bien, puede tenerse la intención de que dichas condiciones no se cumplan, y en tal caso la encuesta se realiza con el objetivo de tener un resultado favorable a alguno de los candidatos. Esto explica el hecho de que distintas encuestas ofrecen distintos resultados. Si todas se aplicaran con las mismas condiciones, la certeza matemática nos llevaría al mismo resultado inequívoco. Idealmente, al informar los resultados de cada encuesta se debería incluir también con detalle la manera como se eligió la muestra, es decir, cómo se hicieron las subdivisiones y luego cómo se garantizó la aleatoriedad de la elección de cada persona. De otra manera, creer en una encuesta se convierte en un dogma de fe, con la posibilidad de ser utilizado de manera mal intencionada para inducir el voto.

Rogelio Fernandez-Alonso - Contenidos EMET